En base 10, tout nombre s'écrit à l'aide de dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
a) Les chiffres.
Nous tenons donc déjà les dix premiers chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
b) Les nombres de 10 à 99.
Au-delà de 9, nous faisons des paquets de 10 : des dizaines !
Voici ainsi le nombre 23 : 2 paquets de 10, et 3 paquets de 1.
La notation 23 utilise deux conventions :
principe additif : la valeur d'un nombre est égale à la somme des symboles qui le composent(ici 2 dizaines et 3 unités).
principe de position : la valeur d'un symbole varie en fonction de la place qu'il occupe dans l'écriture du nombre (ainsi dans 23, nous comprenons que le "2" compte des dizaines, et le "3" compte des unités).
Nous tenons ainsi tous les nombres de 0 à 99 !
c) Les nombres de 100 à 999.
Considérons le nombre 120 : on pourrait être tenté de dire qu'il s'agit de 12 dizaines. Mais nous ne disposons que des chiffres de 0 à 9 pour l'écrire.
L'écriture 1210 pourrait sembler intéressante mais supposerait d'introduire de nouveaux caractères dans notre alphabet numérique (le 12 et le 10 pour cet exemple), et de nouveaux principes de lecture peu commodes : 1210, est-ce 12 dizaines, ou une "deux-cent-dizaine" ?.
Au-delà de 99 : au lieu de faire des paquets de 10 unités (des dizaines), nous allons donc faire des paquets de 10 dizaines : des centaines !
En reprenant les principes additif et de position, nous comprenons que 458 est la somme de 4 paquets de 102 = 100, 5 paquets de 101 = 10, et 8 paquets de 100 = 1.
Nous tenons ainsi tous les nombres de 0 à 999 !
d) Et ainsi de suite.
Vous l'avez compris, à partir de 1000, il va falloir faire des paquets de 10 centaines : les milliers.
Nous tenons ainsi tous les nombres de 0 à 9999 !
A partir de 10 000, il va falloir faire des paquets de 10 milliers : les dizaines de milliers.
Nous tenons ainsi tous les nombres de 0 à 99 999 !
Et ainsi de suite !
e) Des puissances de dix cachées là-dessous.
Un paquet de 1 unité, c'est un paquet de 1 = 100.
Un paquet d'une dizaine, c'est un paquet de dix unités : 10*1 = 10 = 101.
Un paquet d'une centaine, c'est un paquet de 10 dizaines : 100 = 10*10 = 102.
Un paquet d'un millier, c'est un paquet de 10 centaines : 1000 = 10*102 = 103.
Finalement, dans notre système décimal, tout nombre s'écrit finalement avec les 10 premiers chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et des puissances de dix :
100 : 1 unité,
101 : 1 dizaine,
102 : 1 centaine,
103 : 1 millier.
Exemples :1) 23 = 2*10 + 3*1 = 2*101 + 3*100
2) 9853 = 9000 + 800 + 50 + 3
donc : 9853 = 9*1000 + 8*100 + 5*10 +3
et : 9853 = 9*103 + 8*102 + 5*101 + 3*100
9 est le nombre de milliers, 8 le nombre des centaines, 5 celui des dizaines et 3 l'unité.
f) Remarques :
Tout cela peut sembler compliqué et peu intuitif :
« je connais tous les nombres depuis la petite enfance, qu'est-ce donc que ces paquets de 10, 100, 1 000 … qui compliquent une chose si simple ? »
En réalité, si nous connaissons autant de nombres si facilement, et si nous sommes capables de nous représenter que 100 000€, c'est 10 fois plus d'argent que 10 000€, c'est parce que nos ancêtres, depuis bien longtemps, ont eu l'idée de faire ces fameux paquets de 10, 100, 1000…
Vous n'avez peut-être jamais rencontré de votre vie le nombre 49 703, mais grâce à ce système de paquets, vous comprenez immédiatement de quel nombre il s'agit, et vous représentez son ordre de grandeur.
Sachant qu'un adulte normal connaît de l'ordre de 30 000 mots de la langue française, il lui faudrait apprendre 200 000 nouveaux mots, rien que pour les nombres, s'il achète une maison à 200 000€ (et bonne chance au gagnant du loto qui va devoir apprendre 33 millions de mots nouveaux pour lire le montant de son gain !).
On suppose que si les humains ont pris l'habitude de compter en base 10, c'est parce qu'ils avaient dix doigts et se représentaient les 10 premiers chiffres avec les doigts. Au-delà, ils faisaient probablement des paquets de dix en montrant leurs dix doigts (comme ça arrive encore de le faire lorsque l'on négocie le prix d'un article avec quelqu'un qui ne parle pas la même langue).